Équation diophantienne 26x + 65y = 39 - Corrigé

Énoncé

Résoudre l'équation \((E) \colon 26x+65y=39\) dans \(\mathbb{Z}^2\) .

Solution

On applique l'algorithme d'Euclide pour \(65\) et \(26\) :
\(\begin{align*}\renewcommand{\arraystretch}{1.2}\begin{array}{|c|c|c|c|}\hline a&b&q&r \\ \hline 65&26&2&13\\ \hline 26&2&13&0\\ \hline \end{array} \begin{array}{ll}\ \\ \times 1 & \text{conservation du PGCD}\\ \ \end{array}\end{align*}\)  
On a donc \(\mathrm{PGCD}(26;65)=13\) , et comme \(13\) divise \(39\) , l'équation \((E)\) admet des solutions.

D'après l'algorithme d'Euclide, on a
\(\begin{align*}65 =26 \times 2+13& \ \ \Longleftrightarrow \ \ 26 \times (-2)+65 \times 1=13\\ & \ \ \Longleftrightarrow \ \ 26 \times (-6)+65 \times 3=39\end{align*}\)    
donc \((x_0;y_0)=(-6;3)\) est une solution particulière de \((E)\) .

Soit \((x;y)\) une solution de \((E)\) .
On a
\(\begin{align*}26x+65y=26 \times (-6)+65 \times 3& \ \ \Longleftrightarrow \ \ 26(x+6)=65(3-y)\\ & \ \ \Longleftrightarrow \ \ 2(x+6)=5(3-y).\end{align*}\)  
On en déduit que \(2\) divise \(5(3-y)\) .
Or \(\mathrm{PGCD}(2;5)=1\) , donc d'après le théorème de Gauss, \(2\) divise \(3-y\) , c'est-à-dire qu'il existe \(k \in \mathbb{Z}\) tel que  \(\begin{align*}3-y=2k \ \ \Longleftrightarrow \ \ y=3-2k\end{align*}\) .
On a alors
\(\begin{align*}2(x+6)=5(3-y)& \ \ \Longleftrightarrow \ \ 2(x+6)=5 \times 2k\\& \ \ \Longleftrightarrow \ \ x+6=5k\\& \ \ \Longleftrightarrow \ \ x=5k-6.\end{align*}\)      
Ainsi, les solutions de \((E)\) sont des couples de la forme \((x;y)=(5k-6;3-2k)\) avec \(k \in \mathbb{Z}\) .

Réciproquement, soit \(k \in \mathbb{Z}\) quelconque et \((x;y)=(5k-6;3-2k)\) .
On a  \(\begin{align*}26x+65y& = 26(5k-6)+65(3-2k)= 26 \times (-6)+65 \times 3= 39\end{align*}\)  donc \((x;y)\) est solution de \((E)\) .

En conclusion, les solutions de \((E)\) sont données par \(S=\left\lbrace(5k-6;3-2k) \colon k \in \mathbb{Z} \right\rbrace\) .